Ejercicios resultos : LOGICA MATEMATICA

A ) Usando tablas demostrar:

1 ) ( p' )' Û p

p	p'	( p' )'
V	F	V
F	V	F

2 ) p Ù p' Û F

p	p'	p Ù p'
V	F	F
F	V	F

3 ) p Ú p' Û V

p	p'	p Ú p'
V	F	V
F	V	V

4 ) p Ú V Û V

p	V	p Ú V
V	V	V
F	V	V

5 ) p Ù V Û p

p	V	p Ù V
V	V	V
F	V	F

6 ) p Ú F Û p

p	F	p Ú F
V	F	V
F	F	F

7 ) p Ù F Û F

p	F	p Ù F
V	F	F
F	F	F

8) p Ù ( p Ú q ) Û p

P	q	p Ú q	p Ù ( p Ú q )
V	V	V	V
V	F	V	V
F	V	V	F
F	F	F	F

Ú ( p Ù q ) Û p

P	q	p Ù q	p Ú ( p Ù q )
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	F	F
F	F	F	F

10 ) ( p Ù q )' Û p' Ú q'

p	q	p'	q'	p Ù q	( p Ù q )'	p' Ú q'
V	V	F	F	V	F	F
V	F	F	V	F	V	V
F	V	V	F	F	V	V
F	F	V	V	F	V	V

11 ) ( p Ú q )' Û p' Ù q'

p	q	p'	q'	p Ú q	( p Ú q )'	p' Ù q'
V	V	F	F	V	F	F
V	F	F	V	V	F	F
F	V	V	F	V	F	F
F	F	V	V	F	V	V

12 ) ( p Ù q ) Ù r Û p Ù ( q Ù r )

p	q	r	p Ù q	q Ù r	( p Ù q ) Ù r	p Ù ( q Ù r )
V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F	F
V	F	V	F	F	F	F
V	F	F	F	F	F	F
F	V	V	F	V	F	F
F	V	F	F	F	F	F
F	F	V	F	F	F	F
F	F	F	F	F	F	F

13 ) ( p Ú q ) Ú r Û p Ú ( q Ú r )

p	q	r	p Ú q	q Ú r	( p Ú q ) Ú r	p Ú ( q Ú r )
V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	V	V	V
V	F	V	V	V	V	V
V	F	F	V	F	V	V
F	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	V	V	V
F	F	V	F	V	V	V
F	F	F	F	F	F	F

14 ) ( p « q ) « r Û p « ( q « r )

p	q	r	p « q	q « r	( p « q ) « r	p « ( q « r )
V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F	F
V	F	V	F	F	F	F
V	F	F	F	V	V	V
F	V	V	F	V	F	F
F	V	F	F	F	V	V
F	F	V	V	F	V	V
F	F	F	V	V	F	F

15 ) p Ù ( q Ú r ) Û ( p Ù q ) Ú ( p Ù r )

p	q	r	p Ù q	p Ù r	q Ú r	p Ù ( q Ú r )	( p Ù q ) Ú ( p Ù r )
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	V	V	V
V	F	V	F	V	V	V	V
V	F	F	F	F	F	F	F
F	V	V	F	F	V	F	F
F	V	F	F	F	V	F	F
F	F	V	F	F	V	F	F
F	F	F	F	F	F	F	F

16 ) p Ú ( q Ù r ) Û ( p Ú q ) Ù ( p Ú r )

p	q	r	p Ú q	p Ú r	q Ù r	p Ú ( q Ù r )	( p Ú q ) Ù ( p Ú r )
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	V	F	V	V
V	F	V	V	V	F	V	V
V	F	F	V	V	F	V	V
F	V	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	F	F	F	F
F	F	V	F	V	F	F	F
F	F	F	F	F	F	F	F

17 ) p' Ú q Û p ® q

p	q	p'	p' Ú q	p ® q
V	V	F	V	V
V	F	F	F	F
F	V	V	V	V
F	F	V	V	V

18 ) p « q Û ( p ® q ) Ù ( q ® p )

p	q	p ® q	q ® p	( p ® q ) Ù ( q ® p )	p « q
V	V	V	V	V	V
V	F	F	V	F	F
F	V	V	F	F	F
F	F	V	V	V	V

19 ) p ­ q Û ( p Ù q )'

p	q	p Ù q	( p Ù q )'	p ­ q
V	V	V	F	F
V	F	F	V	V
F	V	F	V	V
F	F	F	V	V

20 ) p ¯ q Û ( p Ú q )'

p	q	p Ú q	( p Ú q )'	p ¯ q
V	V	V	F	F
V	F	V	F	F
F	V	V	F	F
F	F	F	V	V

21 ) p Å q Û ( p Ú q ) Ù ( p Ù q )'

p	q	p Ù q	( p Ù q )'	p Ú q	( p Ú q ) Ù ( p Ù q )'	p Å q
V	V	V	F	V	F	F
V	F	F	V	V	V	V
F	V	F	V	V	V	V
F	F	F	V	F	F	F

B ) A partir de los conectivos negación ( ' ) y disyunción ( Ú ) se definen:

p Ù q =_def ( p' Ú q' )'

p ® q =_def p' Ú q

p « q =_def ( p ® q ) Ù ( q ® p )

p Å q =_def ( p Ù q' ) Ú ( p' Ù q )

p ­ q =_def ( p Ù q )'

p ¯ q =_def ( p Ú q )'

Utilizando esas definiciones y las leyes de lógica matemática, demostrar las siguientes tautologías:

1 ) p ® q Û q' ® p'

q' ® p' Û ( q' )' Ú p' ( Definición )

Û q Ú p' ( Doble Negación )

Û p' Ú q ( Conmutatividad )

Û p ® q ( Definición )

2 ) ( p ® q )' Û p Ù q'

( p ® q )' Û ( p' Ú q )' ( Definición )

Û ( p' )' Ù q' ( De Morgan )

Û p Ù q' ( Doble Negación )

3 ) p ® ( q Ù q' ) Û p'

p ® ( q Ù q' ) Û p ® F ( Complemento )

Û p' Ú F ( Definición )

Û p' ( Identidad )

4 ) ( q Ú q' ) ® p Û p

( q Ú q' ) ® p Û ( q Ú q' )'Ú p ( Definición )

Û V' Ú p ( Complemento )

Û F Ú p ( Complemento )

Û p ( Identidad )

5 ) ( p Ù q ) ® r Û p ® ( q ® r )

( p Ù q ) ® r Û ( p Ù q )' Ú r ( Definición )

Û ( p' Ú q' ) Ú r ( De Morgan )

Û p' Ú ( q' Ú r ) ( Asociatividad )

Û p ® ( q ® r ) ( Definición )

6 ) p ® ( q ® r ) Û q ® ( p ® r )

p ® ( q ® r ) Û p' Ú ( q' Ú r ) ( Definición )

Û ( p' Ú q' ) Ú r ( Asociatividad )

Û ( q' Ú p' ) Ú r ( Conmutatividad )

Û q' Ú ( p' Ú r ) ( Asociatividad )

Û q ® ( p ® r ) ( Definición )

7 ) ( p ® q ) « p Û p Ù q

( p ® q ) « p Û ( ( p ® q ) ® p ) Ù ( p ® ( p ® q ) ) ( Definición )

Û ( ( p ® q )' Ú p ) Ù ( p' Ú ( p ® q ) ) ( Definición )

Û ( ( p' Ú q )' Ú p ) Ù ( p' Ú ( p' Ú q ) ) ( Definición )

Û ( ( p Ù q' ) Ú p ) Ù ( p' Ú ( p' Ú q ) ) ( De Morgan )

Û p Ù ( p' Ú ( p' Ú q ) ) ( Absorción )

Û p Ù ( ( p' Ú p' ) Ú q ) ( Asociatividad )

Û p Ù ( p' Ú q ) ( Idempotencia )

Û ( p Ù p' ) Ú ( p Ù q ) ( Distributividad )

Û F Ú ( p Ù q ) ( Complemento )

Û p Ù q ( Identidad )

8 ) ( p ® q ) « q Û p Ú q

( p ® q ) « q Û ( ( p ® q ) ® q ) Ù ( q ® ( p ® q ) ) ( Definición )

Û ( ( p ® q )' Ú q ) Ù ( q' Ú ( p ® q ) ) ( Definición )

Û ( ( p' Ú q )' Ú q ) Ù ( q' Ú ( p' Ú q ) ) ( Definición )

Û ( ( ( p' )' Ù q' ) Ú q ) Ù ( q' Ú ( p' Ú q ) ) ( De Morgan )

Û ( ( p Ù q' ) Ú q ) Ù ( q' Ú ( p' Ú q ) ) ( Doble Negación )

Û ( ( p Ù q' ) Ú q ) Ù ( q' Ú ( q Ú p' ) ) ( Conmutatividad )

Û ( ( p Ù q' ) Ú q ) Ù ( ( q' Ú q ) Ú p' ) ( Asociatividad )

Û ( ( p Ù q' ) Ú q ) Ù ( V Ú p' ) ( Complemento )

Û ( ( p Ù q' ) Ú q ) Ù V ( Identidad )

Û ( ( p Ù q' ) Ú q ) ( Identidad )

Û ( p Ú q ) Ù ( q' Ú q ) ( Distributividad )

Û ( p Ú q ) Ù V ( Complemento )

Û p Ú q ( Identidad )

9 ) p « q Û ( p Ù q ) Ú ( p' Ù q' )

p « q Û ( p ® q ) Ù ( q ® p ) ( Definición )

Û ( p' Ú q ) Ù ( q' Ú p ) ( Definición )

Û ( p' Ù ( q' Ú p ) ) Ú ( q Ù ( q' Ú p ) ) ( Distributividad )

Û ( ( p' Ù q' ) Ú ( p' Ù p ) ) Ú ( ( q Ù q' ) Ú ( q Ù p ) ) ( Distributividad )

Û ( ( p' Ù q' ) Ú F ) Ú ( F Ú ( q Ù p ) ) ( Complemento )

Û ( p' Ù q' ) Ú ( q Ù p ) ( Identidad )

Û ( p Ù q ) Ú ( p' Ù q' ) ( Conmutatividad )

10 ) p' « q' Û p « q

p' « q' Û ( p' ® q' ) Ù ( q' ® p' ) ( Definición )

Û ( ( p' )' Ú q' ) Ù ( ( q' )' Ú p' ) ( Definición )

Û ( p Ú q' ) Ù ( q Ú p' ) ( Doble Negación )

Û ( q' Ú p ) Ù ( p' Ú q ) ( Conmutatividad )

Û ( q ® p ) Ù ( p ® q ) ( Definición )

Û ( p ® q ) Ù ( q ® p ) ( Conmutatividad )

Û p « q ( Definición )

11 ) ( p « q )' Û p' « q

( p « q )' Û ( ( p ® q ) Ù ( q ® p ) )' ( Definición )

Û ( ( p' Ú q ) Ù ( q' Ú p ) )' ( Definición )

Û ( p' Ú q )' Ú ( q' Ú p )' ( De Morgan )

Û ( ( p' )' Ù q' ) Ú ( ( q' )' Ù p' ) ( De Morgan )

Û ( p Ù q' ) Ú ( q Ù p' ) ( Doble Negación )

Û ( ( p Ù q' ) Ú q ) Ù ( ( p Ù q' ) Ú p' ) ( Distributividad )

Û ( ( p Ú q ) Ù ( q' Ú q ) )Ù( ( p Ú p' ) Ù ( q' Ú p' ) ) ( Distributividad )

Û ( ( p Ú q ) Ù V ) Ù ( V Ù ( q' Ú p' ) ) ( Complemento )

Û ( p Ú q ) Ù ( q' Ú p' ) ( Identidad )

Û ( ( p' )' Ú q ) Ù ( q' Ú p' ) ( Doble Negación )

Û ( p' ® q ) Ù ( q ® p' ) ( Definición )

Û p' « q ( Definición )

12 ) ( p ® q ) Ù ( p ® r ) Û p ® ( q Ù r )

( p ® q ) Ù ( p ® r ) Û ( p' Ú q ) Ù ( p' Ú r ) ( Definición )

Û p' Ú ( q Ù r ) ( Distributividad )

Û p ® ( q Ù r ) ( Definición )

13 ) ( p ® q ) Ú ( p ® r ) Û p ® ( q Ú r )

( p ® q ) Ú ( p ® r ) Û ( p' Ú q ) Ú ( p' Ú r ) ( Definición )

Û ( ( p' Ú q ) Ú p' ) Ú r ( Asociatividad )

Û ( p' Ú ( q Ú p' ) ) Ú r ( Asociatividad )

Û ( p' Ú ( p' Ú q ) ) Ú r ( Conmutatividad )

Û ( ( p' Ú p' ) Ú q ) Ú r ( Asociatividad )

Û ( p' Ú q ) Ú r ( Idempotencia )

Û p' Ú ( q Ú r ) ( Asociatividad )

Û p ® ( q Ú r ) ( Definición )

14 ) ( p ® r ) Ù ( q ® r ) Û ( p Ú q ) ® r

( p ® r ) Ù ( q ® r ) Û ( p' Ú r ) Ù ( q' Ú r ) ( Definición )

Û ( p' Ù q' ) Ú r ( Distributividad )

Û ( p Ú q )' Ú r ( De Morgan )

Û ( p Ú q ) ® r ( Definición )

15 ) ( p ® r ) Ú ( q ® r ) Û ( p Ù q ) ® r

( p ® r ) Ú ( q ® r ) Û ( p' Ú r ) Ú ( q' Ú r ) ( Definición )

Û p' Ú ( r Ú ( q' Ú r ) ) ( Asociatividad )

Û p' Ú ( ( r Ú q' ) Ú r ) ( Asociatividad )

Û p' Ú ( ( q' Ú r ) Ú r ) ( Conmutatividad )

Û p' Ú ( q' Ú ( r Ú r ) ) ( Asociatividad )

Û p' Ú ( q' Ú r ) ( Idempotencia )

Û ( p' Ú q' ) Ú r ( Asociatividad )

Û ( p Ù q )' Ú r ( De Morgan )

Û ( p Ù q ) ® r ( Definición )

16 ) p Þ p Ú q

Sea p Verdadero, entonces:

p Ú q Û V Ú q ( p Û V )

Û V ( Identidad )

17 ) p Þ q ® p

Sea p Verdadero, entonces:

q ® p Û q' Ú p ( Definición )

Û q' Ú V ( p Û V )

Û V ( Identidad )

18 ) p' Þ p ® q

Sea p' Verdadero, entonces:

p ® q Û p' Ú q ( Definición )

Û V Ú q ( p' Û V )

Û V ( Identidad )

19 ) ( p Ù p' ) Þ q

Equivale a demostrar:

q' Þ ( p Ù p' )' ( Contra recíproco )

Sea q' Verdadero, entonces:

( p Ù p' )' Û F' ( Complemento )

Û V ( Complemento )

20 ) ( p ® q ) Ù p Þ q

Equivale a demostrar:

q' Þ ( ( p ® q ) Ù p )' ( Contra recíproco )

Sea q' Verdadero, entonces:

( ( p ® q ) Ù p )' Û ( ( p' Ú q ) Ù p )' ( Definición )

Û ( p' Ú q )' Ú p' ( De Morgan )

Û ( ( p' )' Ù q' ) Ú p' ( De Morgan )

Û ( p Ù q' ) Ú p' ( Doble Negación )

Û ( p Ù V ) Ú p' ( q' Û V )

Û p Ú p' ( Identidad )

Û V ( Complemento )

21 ) ( p ® q ) Ù q' Þ p'

Equivale a demostrar:

p Þ ( ( p ® q ) Ù q' )' ( Contra recíproco )

Sea p Verdadero, entonces:

( ( p ® q ) Ù q' )' Û ( ( p' Ú q ) Ù q' )' ( Definición )

Û ( ( p' Ù q' ) Ú ( q Ù q' ) )' ( Distributividad )

Û ( ( p' Ù q' ) Ú F )' ( Complemento )

Û ( p' Ù q' )' ( Identidad )

Û p Ú q ( De Morgan y Doble Negación )

Û V Ú q ( p Û V )

Û V ( Identidad )

22 ) p' Û p ­ p

p ­ p Û ( p Ù p )' ( Definición )

Û p' ( Idempotencia )

23 ) p' Û p ¯ p

p ¯ p Û ( p Ú p )' ( Definición )

Û p' ( Idempotencia )

24 ) p Ù q Û ( p ­ q ) ­ ( p ­ q )

( p ­ q ) ­ ( p ­ q ) Û ( ( p Ù q )' Ù ( p Ù q )' )' ( Definición )

Û ( ( p Ù q )' )' ( Idempotencia )

Û p Ù q ( Doble Negación )

25 ) p Ù q Û ( p ¯ p ) ¯ ( q ¯ q )

( p ¯ p ) ¯ ( q ¯ q ) Û ( ( p Ú p )' Ú ( q Ú q )' )' ( Definición )

Û ( p' Ú q' )' ( Idempotencia )

Û p Ù q ( Definición )

26 ) p Ú q Û ( p ¯ q ) ¯ ( p ¯ q )

( p ¯ q ) ¯ ( p ¯ q ) Û ( ( p Ú q )' Ú ( p Ú q )' )' ( Definición )

Û ( ( p Ú q )' )' ( Idempotencia )

Û p Ú q ( Doble Negación )

27 ) p Ú q Û ( p ­ p ) ­ ( q ­ q )

( p ­ p ) ­ ( q ­ q ) Û ( ( p Ù p )' Ù ( q Ù q )' )' ( Definición )

Û ( p' Ù q' )' ( Idempotencia )

Û p Ú q ( De Morgan y Doble Negación )